Sfidarea minții (provocări matematice)

Nu pot să aduc în discuție bunul simț uman fără să-mi amintesc de o glumă celebră. Se spune că Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi – un savant, astronom, astrolog, matematician şi scriitor persan, cunoscut în mate-matici ca fiind descoperitorul cifrei zero şi considerat de unii a fi părintele algebrei – a fost întrebat ce valoare are omul în matematică. Răspunsul său a fost unul de pomină: “Dacă o-mul are bun simț şi caracter = 1; dacă mai este şi frumos = 10; dacă mai are şi bani = 100; dacă se mai trage dintr-un neam nobil = 1.000. Însă dacă dispare simbolul bunului simț şi al caracterului, adică 1, rămân doar zerourile”.

După dicționarul limbii române, bunul simț n-ar fi decât o normă logică de apreciere, comună marii majorități a oamenilor, iar simțul practic o îndemânare în rezolvarea di-feritelor chestiuni concrete. Bunul simț ar fi echivalent și cu buna intuiție. În engleză, de pildă, este folosit termenul puțin mai potrivit „common sense”, dar noi, românii îi spunem „bun simț” pentru că vrem să alăturăm acestuia și unele sem-nificații de ordin social.

Eu cred însă că bunul simț înseamnă mult mai mult decât atât. Și nu numai eu cred asta, ci și mulți alții. Iată, de pildă, ce spunea C. E. Stowe, încă de pe la mijlocul secolului al XVIX-lea: “Bunul simț înseamnă talentul de a vedea lu-crurile așa cum sunt și de a face lucrurile așa cum trebuie fă-cute”. Altfel spus, avem de-a face cu o împletire armonioasă între ceea ce intuiția ne oferă și ce putem noi returna.

Cu toate acestea, avem azi o dovadă certă a faptului că marile descoperiri în științele exacte au profitat din plin de așa numita sfidare a „bunului simț”. Percepții greșite au exis-tat și vor mai exista, orice poate fi pus în discuție, privit din unghiuri noi de vedere orice se poate “reinventa” și reclădi de la capăt, pe baze noi, care vor deveni firești după ce ome-nirea le va accepta și asimila. Iar exemple în acest sens sunt multiple, istoria civilizației abundă.

Baza lucrării de față este preponderent legată de așa numita sfidare a bunului simț, strict privit dintr-un unghi de vedere al matematicii și a ceea ce a vizat dezvoltarea acesteia pe parcursul lungii sale istorii. Așadar, lucrarea nu este o ex-punere sistematică a unui sector bine definit al matematicii, nici una de popularizare a problemelor acestei științe. Nu es-te, desigur, nici măcar o culegere de șarade și curiozități, chiar dacă unele chestiuni incluse pot avea în vedere și aces-te aspecte. Scopul ei principal este mai degrabă acela de a scoate în evidență elementul pur matematic, ca instrument care ne influențează raționamentul în mod obișnuit.

Prin conținut, cartea include multe lucruri serioase, a-nume acele componente ale matematicii care, dincolo de simplitatea sau complexitatea lor, deseori ridică mari proble-me de abordare, de rezolvare, de utilizare înaltă a capacități-lor mentale umane. Dar chiar și în acest context care ar putea părea puțin mai grav, majoritatea problemelor prezentate în lucrare aduc în față lucruri necunoscute și fascinante.

Pentru a înțelege lucrarea nu sunt necesare cunoștințe de matematici superioare. Este adevărat, însă, există și unele pasaje mai grele, pe care însă cititorul le poate totuși asimila ca pe niște noutăți în domeniu, sau le poate ocoli. Veți obser-va însă, pur și simplu, că matematica este una universală, nu se rezumă doar la noțiunile care se predau prin școli, nu se sfiește să abordeze cu curaj orice domeniu, nimic nu-i este străin și pretutindeni este folositoare.

Lucrarea se adresează deopotrivă elevilor, părinților și profesorilor. Ea este o expunere a matematicii ce trebuie luată în serios chiar dacă multe dintre subiecte se anunță a fi distractive și unele chiar sunt prezentate sub această mască pentru a le surprinde mai ușor simplitatea. De pildă, părinții ar putea găsi în lucrare unele idei și posibilități de a petrece clipe plăcute împreună cu copiii lor, cărora le-ar putea insu-fla gustul pentru matematică, eventual acordându-le o oare-care asistență uneori necesară.

Cartea cuprinde numeroase probleme din matematică, alese din experiența mea de matematician, de autor, sau cu-lese și uneori adaptate la nivelul unor minime cunoștințe ale matematicii de gimnaziu și în unele cazuri de liceu. La multe dintre acestea, nu neapărat cunoștințele de matematică sunt necesare, cât mai ales aptitudinile, perspicacitatea și inteli-gența fac diferența.

Printre obiectivele importante ale lucrării le-am avut în vedere și pe acelea de a amuza, de a uimi, de a vrăji, de a  atrage ca un magnet atenția cititorului prin farmecul deosebit al problemelor alese. Cartea poate fi totodată și o călăuză pentru rezolvări de probleme, de la cele mai simple până la cele care pot da prilejul de căutări mai ample și îndelungate. Acasă, la școală, dar și cu prilejul unor excursii ori întâlniri în grupuri de amici, în vacanțe etc., cartea aceasta ar putea oferi satisfacții imediate, fiind și o excelentă călăuză pentru petreceri amuzante și instructive în timpul liber.

Cele mai multe întrebări din lucrare, care sunt de fapt exerciții și probleme din categoria jocurilor matematice au fost scrise sau culese și adaptate pentru a pune la încercare logica gândirii în spiritul matematicii, și nu de a face calcule complicate.

Un capitol special, intitulat sugestiv “Probleme care sfidează bunul simț” este dedicat unor probleme matematice din categoria celor de logică și perspicacitate, o parte din ele putând da multă bătaie de cap în abordare și rezolvare, fiind-că aici veți avea o scurtă întâlnire cu matematica la modul distractiv, dar deloc facil. De cele mai multe ori elementele de matematică învățate în primele clase de gimnaziu sunt mai mult decât suficiente pentru a rezolva cu deplin succes unele probleme care vi s-au propus în acest capitol, pentru a vă descurca prin “cursele” care vă sunt întinse. Dar veți da și peste probleme care sfidează pur și simplu bunul simț… ma-tematic, care par, la prima vedere, că nu au suficiente date spre a putea fi rezolvate etc. Haina cu care sunt îmbrăcate acestea este deseori una poetică, amuzantă, atractivă. Cele îmbrăcate în altfel de haine nu reprezintă, de fapt, decât o in-vitaţie la o „gimnastică” spirituală pe tărâmul plin de satis-facţii al matematicii recreative.

Jocurile și trucurile matematice, pe lângă plăcerea de a le descifra și asimila, oferă și posibilitatea de a fi puse în practică, în familie, cu prietenii, în vacanțe, ca pe niște jocuri de societate care se bucură totdeauna de mare succes. Cele expuse în volum nu depind de un concurs de împrejurări fa-vorabile, nici de condițíi speciale pentru a fi experimentate, ci doar de propria ingeniozitate și de câteva calcule preala-bile. Dacă știi să faci bine calculul ce stă la baza jocului res-pectiv, poți să deții “secretul” acestuia, ceea ce îți va asigura gloria în fața celorlalți participanți care încă nu au deslușit baza matematică a acestora. Totodată, jocurile de acest fel, pe lângă faptul că oferă satisfacție și distracție, au și potența unor veritabile probleme. În același timp, ele ajută mintea să se dezvolte prin cooperare și competiție, prin explorare și inovare, ne încurajează să elaborăm strategii câștigătoare, in-diferent de condiția umană sau socială și indiferent de aspira-țiile noastre. Mesajul lor este unul clar: necesită jucători care doresc să câștige, dar știu că s-ar putea să nu poată. Jucând jocuri în care ne este antrenată curiozitatea, ne simțim mai vii ca oricând.

Trucurile aritmetice constă adesea din „ghicirea” nu-merelor alese în minte sau a rezultatelor operațiilor cu aceste numere. “Secretul” lor constă în faptul că “ghicitorul” cu-noaște și știe să folosească unele proprietăți ale numerelor pe care cel care le alege nu le știe. Interesul matematic al ori-cărui truc constă în “demascarea” bazelor lui teoretice care, în majoritatea cazurilor sunt cât se poate de simple, dar as-cunse în mod ingenios. Pentru verificarea eficienței trucuri-lor putem folosi orice exemple, dar pentru fundamentarea majorității lor este mai bine să apelăm la algebră. La început veți putea omite “demonstrarea” trucurilor, limitându-vă la cunoașterea regulilor lor, pentru a vă uimi prietenii. Dar veți descoperi că nici demonstrațiile nu sunt lipsite de interes pentru cei cărora le place să gândească și cunosc bazele ele-mentare ale algebrei. Executarea lor în practică diferă în funcție de condițiile existente și de mediul în care se petrec, dar și de gustul, ingeniozitatea și fantezia fiecăruia.

Într-un capitol special mi-am propus să prezint câteva dintre cele mai fascinante iluzii optice, majoritatea având la bază efectele percepțiilor false ale unor construcții geome-trice. După cum se știe, iluziile optice apar datorită tendinței creierului nostru de a vedea lucrurile așa cum ar trebui ele să fie în baza experienței noastre anterioare, în loc de cum sunt ele. Putem astfel fi “manipulați” să percepem lucrurile ca fi-ind mai mari decât în realitate, să “observăm” adâncimi într-o suprafață plană, să “vedem” culori într-o imagine mono-cromatică sau să “simțim” mișcarea într-o imagine statică. Și în cazul acestora se manifestă o limită a încrederii în simțu-rile noastre și niciun fel de exerciții nu le pot face suficient de bune pentru unele sarcini speciale. Tendința omului de a fi înșelat de propriile sale percepții a fost o sursă inepuizabilă pentru creatorii de iluzii optice. Capitolul acesta pune cu pri-sosință în lumină astfel de “sfidări” ale simțurilor noastre.

O parte specială a cărţii a fost consacrată rezolvărilor şi răspunsurilor la probleme. De ce separat? Pentru simplul motiv că ar fi de dorit ca cititorul să folosească acest capitol doar pentru confruntarea cu rezultatele proprii.

Deşi am dorit-o mult, nu ştiu cât am reuşit ca această colecție de „probleme” să se constituie într-un auxiliar al e-ducaţiei matematice pentru o categorie cât mai largă de citi-tori. De aceea, repet și aici un îndemn prin cuvintele pline de semnificaţie ale lui Oscar Wilde: „Cel mai bun mijloc de a scăpa de o tentaţie este de a obţine satisfacţia ei”.

Am pornit de la o idee bine verificată în practică, anu-me aceea că oamenilor le place să rezolve probleme (care, dacă sunt bine alcătuite, nu au decât o singură soluție) și să joace jocuri (care pot avea mai multe finaluri). Granița dintre probleme și jocuri nu a fost niciodată bine definită. Când sunt înțelese pe de-a-ntregul, jocurile simple, bine concepute, seamănă foarte mult cu problemele.

Dacă satisfacția cititorului va fi atinsă la cotele pe ca-re le-am vizat, pot spera că mi-am atins scopul în numele că-ruia v-am invitat să lecturați această carte, să luați cunoștință și să puneți în practică unele dintre cele mai uimitoare lucruri legate de matematică.